Question

【題目】如圖①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DH=CH，連結(jié)BD．

（1）求證：BD=AC；

（2）將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF（點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），連接AE．

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，（F不與C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的長(zhǎng)；

②如圖③，當(dāng)△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②＝．

【解析】

試題分析：（1）先判斷出AH=BH，再判斷出△BHD≌△AHC即可；

（2）①先根據(jù)tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根據(jù)△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；

②先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

試題解析：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，∴AH=BH，在△BHD和△AHC中，∵AH=BH，∠BHD=∠AHC，DH=CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD=AC；

（2）①如圖，在Rt△AHC中，∵tanC=3，∴=3，設(shè)CH=x，∴BH=AH=3x，∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，∴AH=3，CH=1，由旋轉(zhuǎn)知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，∴∠EHA=∠FHC，，∴△EHA≌△FHC，∴∠EAH=∠C，∴tan∠EAH=tanC=3，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AE，∴HP=3AP，AE=2AP，在Rt△AHP中，，∴，∴AP=，∴AE=；

②由①有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴，∴，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴=sin30°=．