Question

15．【閱讀】求值：1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶
解：設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶ ①
將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得
　　　 2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷②
由②-①得2S-S=2²⁰¹⁷-1
　　　 即：S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1
仿照此法計(jì)算：
（1）1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰
（2）1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$
【應(yīng)用】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S₁，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S₂，依次操作2016次，依次得到小正方形S₃、S₄…S₂₀₁₆．
完成下列問(wèn)題：
（3）小正方形S₂₀₁₆的面積等于$\frac{1}{{4}^{2016}}$；
（4）求正方形S₁、S₂、S₃、S₄…S₂₀₁₆的面積和．

Answer 1

分析 （1）先將等式①的兩邊同時(shí)乘以3，再由②-①得結(jié)論；
（2）將等式①的兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{2}$，再由②-①得結(jié)論；
（3）根據(jù)題意依次求S₁、S₂、S₃、…，得出S₂₀₁₆的值；
（4）將等式①的兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{4}$，再由②-①得結(jié)論；

解答 解：（1）設(shè)S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰①，
將等式①的兩邊同時(shí)乘以3得：3S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹②，
由②-①得3S-S=3¹⁰¹-1，
即：S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$；
（2）設(shè)S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$①，
將等式①的兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$②，
由②-①得：$\frac{1}{2}$S-S=$\frac{1}{{2}^{101}}$-1，S=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$，
即：S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$；
（3）由題意得：S=1，S₁=$\frac{1}{4}$，S₂=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{4}^{2}}$，S₃=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{4}^{3}}$，…，S₂₀₁₆=$\frac{1}{{4}^{2016}}$，
故答案為：$\frac{1}{{4}^{2016}}$；
（4）設(shè)A=S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₆=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{2016}}$①，
將等式①的兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{4}$得：$\frac{1}{4}$A=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{2016}}$+$\frac{1}{{4}^{2017}}$②，
由②-①得：$\frac{1}{4}$A-A=$\frac{1}{{4}^{2017}}$-1，A=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{4}^{2017}}$-1），
即：S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₆=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{4}^{2017}}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)字與圖形相結(jié)合的規(guī)律題，關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀已知材料，通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，并按此規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；本題還通過(guò)等分正方形的面積與數(shù)字類(lèi)的規(guī)律結(jié)合在一起，進(jìn)一步將數(shù)字類(lèi)的規(guī)律應(yīng)用到數(shù)學(xué)中來(lái)．