Question

20．某商場(chǎng)有A、B兩種商品，每件的進(jìn)價(jià)分別為15元、35元．商場(chǎng)銷售5件A商品和1件B商品，可獲得利潤(rùn)35元；銷售6件A商品和3件B商品，可獲得利潤(rùn)60元．
（1）求A、B兩種商品的銷售單價(jià)；
（2）如果該商場(chǎng)計(jì)劃最多投入2 000元用于購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共80件，那么購(gòu)進(jìn)A種商品的件數(shù)應(yīng)滿足怎樣的條件？
（3）現(xiàn)該商場(chǎng)對(duì)A、B兩種商品進(jìn)行優(yōu)惠促銷，優(yōu)惠措施如表所示：

打折前一次性購(gòu)物總金額	優(yōu)惠措施
不超過500元	售價(jià)打九折
超過500元	售價(jià)打八折

如果一次性付款432元同時(shí)購(gòu)買A、B兩種商品，求商場(chǎng)獲得的最小利潤(rùn)和最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)商場(chǎng)銷售5件A商品和1件B商品，可獲得利潤(rùn)35元；銷售6件A商品和3件B商品，可獲得利潤(rùn)60元，分別得出等式求出答案；
（2）根據(jù)“商場(chǎng)計(jì)劃最多投入2000元用于購(gòu)進(jìn)此兩種商品共80件”列出不等式，解不等式求出其解；
（3）設(shè)到該商場(chǎng)購(gòu)買甲種商品m件，購(gòu)買乙種商品n件．分兩種情況討論：①打折前一次性購(gòu)物總金額不超過500；②打折前一次性購(gòu)物總金額超過500．

解答 解：（1）設(shè)甲商品售價(jià)為x元，則乙商品售價(jià)為y元，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{5（x-15）+y-35=35}\\{6（x-15）+3（y-35）=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=45}\end{array}\right.$，
答：甲商品售價(jià)為20元，則乙商品售價(jià)為45元

（2）由題意，得15x+35（80-x）≤2000，
解之，得x≥40．
故購(gòu)進(jìn)A種商品的件數(shù)不應(yīng)低于40件；

（3）設(shè)到該商場(chǎng)購(gòu)買甲種商品m件，購(gòu)買乙種商品n件．
①當(dāng)打折前一次性購(gòu)物總金額不超過500時(shí)，購(gòu)物總金額為432÷0.9=480（元），
則20m+45n=480，m=24-$\frac{9}{4}$n＞0，∴0＜n＜$\frac{32}{3}$．
n是4的倍數(shù)，有2種情況：
情況1：m=6，n=8，則利潤(rùn)是：432-8×35-6×15=62（元）；
情況2：m=15，n=4，則利潤(rùn)是：432-（15×15+35×4）=67（元）；
②當(dāng)打折前一次性購(gòu)物總金額超過500時(shí)，購(gòu)物總金額為432÷0.8=540（元），
則20m+45n=540，m=27-$\frac{9}{4}$n≥0，∴0＜n≤12．
m、n均是正整數(shù)，n是4的倍數(shù)，有2種情況：
情況1：m=9，n=8，則利潤(rùn)為：432-（9×15+8×35）=17（元）；
情況2：m=18，n=4，則利潤(rùn)為：432-（18×15+4×35）=22（元）；
綜上所述，商家可獲得的最小利潤(rùn)是17元，最大利潤(rùn)是67元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵．