Question

10．我們把滿足方程x²+y²=z²的正整數(shù)的解（x、y、z）叫做勾股數(shù)，如，（3，4，5）就是一組勾股數(shù)．
（1）請你再寫出兩組勾股數(shù)：（6、8、10），（9、12、15）；
（2）在研究直角三角形的勾股數(shù)時，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n²-1，z=n²+1，那么以x，y，z為三邊的三角形為直徑三角形（即x，y，z為勾股數(shù)），請你加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍仍是勾股數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案．

解答 解：（1）寫出兩組勾股數(shù)：（ 6，8，10），（ 9，12，15）．
（2）證明：x²+y²
=（2n）²+（n²-1）²
=4n²+n⁴-2n²+1
=n⁴+2n²+1
=（n²+1）²
=z²，
即x，y，z為勾股數(shù)．
故答案為：6，8，10；9，12，15．

點評 本題考查了勾股數(shù)，利用了勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)．