Question

19．如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上的一點，過C點作CF⊥CE交AB的延長線于點F．
（1）求證：△CDE∽△CBF；
（2）若B為AF的中點，CB=3，DE=1，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性質得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根據等角的余角相等得到∠2=∠4，則可判斷△CDE∽△CBF；
（2）先∴BF=AB，設CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，則可根據相似比得到$\frac{x}{3}=\frac{1}{x}$，然后利用比例性質求出x即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B為AF的中點
∴BF=AB，
設CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{BF}$，
∴$\frac{x}{3}=\frac{1}{x}$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$，
即CD的長為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；兩個三角形相似對應角相等，對應邊的比相等．也考查了矩形的性質．