Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：EB=EC；

（2）若以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接OD，由BC是⊙O的切線得出∠BCA=90°，由DE是⊙O的切線，得出ED=EC，∠ODE=90°，故可得出∠EDB=∠EBD，由此可得出結(jié)論．

（2）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，則△DEB是等腰直角三角形，據(jù)此即可判斷．

【解答】（1）證明：連接OD，

∵AC是直徑，∠ACB=90°，

∴BC是⊙O的切線，∠BCA=90°．

又∵DE是⊙O的切線，

∴ED=EC，∠ODE=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵∠OAD+∠DBE=90°，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=EB，

∴EB=EC．

 

（2）解：當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，則∠DEB=90°，

又∵ED=EB，

∴△DEB是等腰直角三角形，則∠B=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是連接OD得垂直，構(gòu)造出等腰三角形，利用“等角的余角相等解答．