Question

17．如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC交AC于點E，已知AD=AB，連接BE交AD于點F，下列結論：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③S_△ABF=3S_△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 4個
• C． 3個
• D． 2個

Answer 1

分析 要解答本題，首先由中垂線的性質可以求得BE=CE，利用外角與內角的關系可以得出∠CAD=∠ABE，通過作輔助線利用等腰三角形的性質和三角形全等可以得出EF=FH=$\frac{1}{2}$HB，根據等高的兩三角形的面積關系求出AF=DF，S_△ABF=3S_△DEF，利用角的關系代替證明∠5≠∠4，從而得出△DEF與△DAE不相似．根據以上的分析可以得出正確的選項答案．

解答 解：∵D是BC的中點，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分線，CD=BD，
∴CE=BE，故①正確；

∴∠C=∠7，
∵AD=AB，
∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，
∵∠8=∠C+∠4，
∴∠C+∠4=∠6+∠7，
∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故②正確；

作AG⊥BD于點G，交BE于點H，
∵AD=AB，DE⊥BC，
∴∠2=∠3，DG=BG=$\frac{1}{2}$BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，DE=AH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，
∴在△DEF與△AHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠3}\\{∠5=∠1}\\{DE=AH}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△AHF（AAS），
∴AF=DF，EF=HF=$\frac{1}{2}$EH，且EH=BH，
∴EF：BF=1：3，
∴S_△ABF=3S_△AEF，
∵S_△DEF=S_△AEF，
∴S_△ABF=3S_△DEF，故③正確；
∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，
∴∠5=∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故④錯誤．
綜上所述：正確的答案有3個．
故選：C．

點評 本題考查了中垂線的判定及性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，三角形的中位線及相似三角形的判定及性質和等積變換等知識．