Question

5．閱讀與應(yīng)用：同學(xué)們：你們已經(jīng)知道（a-b）²≥0，即a²-2ab+b²≥0．
∴a²+b²≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）．
閱讀1：若a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）．
閱讀2：若函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0，m為常數(shù)），由閱讀1結(jié)論可知：
x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{m}{x}}$即x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，
∴當(dāng)x=$\frac{m}{x}$，即x²=m，∴x=$\sqrt{m}$（m＞0）時，函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$的最小值為2$\sqrt{m}$．
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問題：
問題1：若函數(shù)y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1），則a=4時，函數(shù)y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1）的最小值為6；
問題2：已知一個矩形的面積為4，其中一邊長為x，則另一邊長為$\frac{4}{x}$，周長為2（x+$\frac{4}{x}$），求當(dāng)x=2時，周長的最小值為8；
問題3：求代數(shù)式$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$（m＞-1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由閱讀2得到a-1=$\sqrt{9}$時，函數(shù)y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1）取最小值；
（2）同（1）方法x=2時周長取到最小值；
（3）先將$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$處理成m+1+$\frac{4}{m+1}$，同（1）的方法得出結(jié)論；

解答 解：問題1，由閱讀2知，a-1=$\sqrt{9}$時，
即：a=4時，函數(shù)y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1）的最小值是2$\sqrt{9}$=6，
答案為4，6；
問題2，由閱讀2知，x=$\sqrt{4}$=2時，
周長為2（x+$\frac{4}{x}$）的最小值是2×2$\sqrt{4}$=8，
故答案為2，8；
（3）$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$=$\frac{{m}^{2}+2m+1+4}{m+1}$=$\frac{（m+1）^{2}+4}{m+1}$=m+1+$\frac{4}{m+1}$，
∴當(dāng)m+1=$\sqrt{4}$時，即m=1時，$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$（m＞-1）最小值是2$\sqrt{4}$=4．

點(diǎn)評 此題是反比例函數(shù)題，函數(shù)極值的確定方法，讀懂材料是解本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是理解和運(yùn)用材料得到的結(jié)論解決問題．