【題目】定義:有一個(gè)內(nèi)角為90°,且對(duì)角線相等的四邊形稱(chēng)為準(zhǔn)矩形.

(1)①如圖1,準(zhǔn)矩形ABCD中,∠ABC=90°,若AB=2,BC=3,則BD=;
②如圖2,直角坐標(biāo)系中,A(0,3),B(5,0),若整點(diǎn)P使得四邊形AOBP是準(zhǔn)矩形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是;(整點(diǎn)指橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))
(2)如圖3,正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB上的點(diǎn),且CF⊥BE,求證:四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形;
(3)已知,準(zhǔn)矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,當(dāng)△ADC為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)準(zhǔn)矩形的面積是

【答案】
(1),(5,3),(3,5)
(2)解:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC∠A=∠ABC=90°,

∴∠EAF+∠EBC=90°,

∵BE⊥CF,

∴∠EBC+∠BCF=90°,

∴∠EBF=∠BCF,

∴△ABE≌△BCF,

∴BE=CF,

∴四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形


(3) ; ;
【解析】(1)①∵∠ABC=90,

∴BD= ,

故答案為

②∵A(0,3),B(5,0),

∴AB= =

設(shè)點(diǎn)P(m,n),A(0,0),

∴OP= =,

∵m,n都為整數(shù),

∴點(diǎn)P(3,5)或(5,3);

故答案為P(3,5)或(5,3);

( 3 ) ;

∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,

∴BC=2 ,AC=4,

準(zhǔn)矩形ABCD中,BD=AC=4,

①當(dāng)AC=AD時(shí),如圖1,作DE⊥AB,

∴AE=BE AB=1,

∴DE=

∴S準(zhǔn)矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE

= DE×AE+ (BC+DE)×BE

= × + (2 + )×1

= + ;

②當(dāng)AC=CD時(shí),如圖2,

作DF⊥BC,

∴BD=CD,

∴BF=CF= BC= ,

∴DF=

∴S準(zhǔn)矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

= FC×DF+ (AB+DF)×BF

= × × + (2+ )×

= + ;

③當(dāng)AD=CD,如圖3,

連接AC中點(diǎn)和D并延長(zhǎng),連接BG,過(guò)B作BH⊥DG,

∴BD=CD=AC=4,

∴AG= AC=2,

∵AB=2,

∴AB=AG,

∵∠BAC=60°,

∴∠ABG=60°,

∴∠CBG=30°

在Rt△BHG中,BG=2,∠BGH=30°,

∴BH=1,

在Rt△BHM中,BH=1,∠CBH=30°,

∴BM= ,HM= ,

∴CM= ,

在Rt△DHB中,BH=1,BD=4,

∴DH= ,∴DM=DH﹣MH= ,

∴S準(zhǔn)矩形ABCD=S△DCF+S四邊形AMCD

= BM×AB+ AC×DM

= × ×2+ ×4×(

=2 ;

故答案為 ;

(1)①中易由勾股定理可得AC=,再由準(zhǔn)矩形定義易得BD=AC=
②中由勾股定理可得AB=,所以O(shè)P=,又m,n為整數(shù),可得P點(diǎn)只能為(3,5)或(5,3)。
(2)由準(zhǔn)矩形定義只需證有一個(gè)直角以及對(duì)角線相等即可,由于有正方形ABCD可得∠FBC=90°;所以只需證對(duì)角線相等,由正方形性質(zhì)易得△ABE≌△BCF,證得BE=CF,準(zhǔn)矩形得證。
(3)由準(zhǔn)矩形ABCD中,∠ABC=90°可知,只需證明對(duì)角線相等即可,又由△ADC為等腰三角形時(shí)所以需要分情況討論,即AD=AC;CD=CA;DA=DC三種情況,又∠BAC=60°,AB=2;所以由割補(bǔ)法,可計(jì)算得到共有三種結(jié)果。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)小明說(shuō):從箱子里摸出一個(gè)球,不放回,再摸出一個(gè)球,則“摸出的球中有白球”這一事件的概率為 ,你認(rèn)同嗎?請(qǐng)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表計(jì)算說(shuō)明.

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甲種貨車(chē)()

乙種貨車(chē)()

總量()

第一次

4

5

31

第二次

3

6

30

1)甲、乙兩種貨車(chē)每輛分別能裝貨多少?lài)崳?/span>

2)現(xiàn)有45噸物資需要再次運(yùn)往武漢,準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車(chē),每輛均全部裝滿(mǎn)貨物,問(wèn)有哪幾種租車(chē)方案?請(qǐng)全部設(shè)計(jì)出來(lái).

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