Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=4，點(diǎn)G在BC邊上，BG=3，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F．

（1）求BF和DE的長(zhǎng)；

（2）如圖2，連接DF、CE，探究并證明線段DF與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DF=CE，DF⊥CE．理由見(jiàn)解析；

【解析】（1）如圖1，先利用勾股定理計(jì)算出AG==5，再利用面積法和勾股定理計(jì)算出 然后證明△ABF≌△DAE，得到DE=AF=；
（2）作CH⊥DE于H，如圖2，先利用△ABF≌△DAE,得到則與（1）的證明方法一樣可得△CDH≌△DAE，則 于是可判斷EH=EF，接著證明△DEF≌△CHE，所以DF=CE，∠EDF=∠HCE，然后利用三角形內(nèi)角和得到從而判斷DF⊥CE.

(1)如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴

在Rt△ABG中,AG==5，

∵

∴

∴AF===，

∵

∴∠ABF=∠DAE，

在△ABF和△DAE中

∴△ABF≌△DAE，

∴DE=AF=；

(2)DF=CE，DF⊥CE.理由如下：

作CH⊥DE于H，如圖2，

∵△ABF≌△DAE,

∴

∴

與(1)的證明方法一樣可得△CDH≌△DAE，

∴

∴

∴EH=EF，

在△DEF和△CHE中

∴△DEF≌△CHE，

∴DF=CE，∠EDF=∠HCE，

∵∠1=∠2，

∴

∴DF⊥CE.