Question

10．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）概念理解：
如圖1，在四邊形ABCD中添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．
（2）問題探究：
①小紅猜想：對角線互相垂直的“等鄰邊四邊形”一定是菱形．她的猜想正確嗎？請說明理由．
②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=4，BC=2，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié)BA′，CC′，小紅要使平移后的四邊形A′BCC′是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段BB′的長）？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義添加一組鄰邊相等即可；
（2）①通過舉反例的辦法，判斷該命題是假命題；
②分類討論．當A′C′=CC′時，計算BB′；當BC=CC′時，計算BB′；當A′C′=A′B時，計算BB′；說明BC不可能等于A′B．

解答 解：（1）AB=BC或BC=CD或AD=CD或AB=AD．
答案：AB=AD．
（2）①不正確．
如下圖所示，雖然BD⊥AC，AB=AD，但該四邊形不是菱形．

②由平移可知：BB′∥CC′，且BB′=CC′，
∴四邊形B′BCC′是平行四邊形．

當BC=CC′=2時，此時BB′=2；
當A′C′=CC′=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$時，BB′=2$\sqrt{5}$；
當A′C′=AB′=2$\sqrt{5}$時，延長A′B′交BC延長線于D．設BD=x

由于AB∥A′B′，
∴∠A′DB=90°，△A′DB是直角三角形．
又∵BB′是∠ABC的角平分線，
∴∠B′BD=∠BB′D=45°，∴B′D=BD=x．
∴A′B²=BD²+A′D²，即（x+4）²+x²=20，解得x=$\sqrt{6}$-2．
而BB′=$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$．
Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到RT△A′B′C′，
∴∠AB′B=135°，在鈍角△AB′B中，
∵A′B＞A′B′=4，A′B′＞B′C′=BC，
∴A′B＞BC．即A′B不可能等于BC．
∴BB′=2，2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$時，四邊形A′BCC′是“等鄰邊四邊形”．

點評 點評：本題是新定義類探究題，主要考察了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定．解決本題需利用新定義，逐一討論，解題中利用平移的性質(zhì)并構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．