Question

15．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，交AC于E，DF⊥CE，垂足為F
（1）求證：DF是⊙O的切線
（2）求線段CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD、OD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，于是可判斷OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，則DF⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理可得DF是⊙O的切線；
（2）證明△CED∽△CBA，然后利用相似比可求出CE的長．

解答 （1）證明：連接AD、OD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
而DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：∵∠CED=∠B，∠ECD=∠BCA，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{CE}{10}$=$\frac{5}{13}$，
∴CE=$\frac{50}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．熟練應(yīng)用相似比計(jì)算線段的長是解決（2）小題的關(guān)鍵．