Question

4．如圖，AE是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點(diǎn)，AD與EB交于點(diǎn)C，連結(jié)AB和DE，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，且∠F=∠CED=∠AED．
（1）求證：EF是⊙O切線(xiàn)；
（2）若CD=CF=6，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠ADE=90°，則∠F+∠FED=90°，于是根據(jù)∠F=∠AED得到∠AEF=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可得EF是⊙O切線(xiàn)；
（2）先證明△DCE∽△DEF，則利用相似比可計(jì)算出DE=6$\sqrt{2}$，再判斷△AEC為等腰三角形得到EA=EC，AD=CD=6，接著根據(jù)勾股定理得到AE=6$\sqrt{3}$，然后利用面積法計(jì)算出AB=4$\sqrt{6}$，最后利用勾股定理計(jì)算BE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠F+∠FED=90°，
∵∠F=∠AED，
∴∠AED+∠FED=90°，即∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF是⊙O切線(xiàn)；
（2）解：∵∠CED=∠F，∠CDE=∠EDF，
∴△DCE∽△DEF，
∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{DE}{DF}$，即$\frac{6}{DE}$=$\frac{DE}{12}$，解得DE=6$\sqrt{2}$，
∵ED⊥AD，∠AED=∠CED，
∴△AEC為等腰三角形，
∴EA=EC，AD=CD=6，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（6\sqrt{2}）^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴EC=6$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$DE•AC，
∴AB=$\frac{6\sqrt{2}×12}{6\sqrt{3}}$=4$\sqrt{6}$，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)．熟練應(yīng)用勾股定理和相似比計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)是解決（2）小題的關(guān)鍵．