Question

10．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并寫出拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)E時(shí)拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠BEC=90°時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若P（m，n）是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式，再利用配方法將其化成頂點(diǎn)式即可找出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，t），由兩點(diǎn)間的距離公式可求出BE、CE、BC的長，根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）由點(diǎn)P在拋物線上，可用m表示出n，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，再由點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)P到直線BC的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S_△PBC關(guān)于m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-4）代入y=ax²+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+c}\\{0=16a+4b+c}\\{-4=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-4=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{9}{2}$）．
（2）依照題意，畫出圖形，如圖1所示．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，t），
∵B（4，0）、C（0，-4），
∴BE=$\sqrt{9+{t}^{2}}$，CE=$\sqrt{{t}^{2}+8t+17}$，BC=4$\sqrt{2}$，
∵∠BEC=90°，
∴BE²+CE²=BC²，即9+t²+t²+8t+17=32，
解得：t₁=-2+$\sqrt{7}$，t₂=-2-$\sqrt{7}$，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-2-$\sqrt{7}$）或（1，-2+$\sqrt{7}$）．
（3）假設(shè)存在，如圖2所示．
∵P（m，n）是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），
∴n=$\frac{1}{2}$m²-m-4，0＜m＜4．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-4，
∵點(diǎn)B（4，0）為直線BC上的點(diǎn)，
∴0=4k-4，解得：k=1，
∴直線BC的解析式為y=x-4，即x-y-4=0．
點(diǎn)P到直線BC的距離d=$\frac{|m-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+4-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=|-$\frac{\sqrt{2}}{4}$m²+$\sqrt{2}$m|，
∵0＜m＜4，
∴d=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$m²+$\sqrt{2}$m．
S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$m²+$\sqrt{2}$m）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴當(dāng)m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）時(shí)，S_△PBC取最大值4．
故存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)勾股定理找出關(guān)于t的一元二次方程；（3）利用三角形的面積公式找出S_△PBC關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．