Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝－x2＋（m＋1）x－m（m為常數(shù)）．

（1）求證：不論m為何值，該二次函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）若該二次函數(shù)的圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且AB2＝2OC2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

根據(jù)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)y=0，得到b2－4ac≥0，即可得出答案；

當(dāng)y=0時(shí)求出拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,1，求得AB的長(zhǎng)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－m，求得 OC的長(zhǎng)，再根據(jù)AB2＝2OC2即可求出m.

（1）當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋（m＋1）x－m＝0．

∵a＝－1，b＝（m+1） ，c＝－m

∴b2－4ac＝（m+1）2－4×（－1）×（－m）＝（m－1）2≥0．

∴－x2＋（m+1）x－m＝0有實(shí)數(shù)解．

∴不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)．

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋（m＋1）x－m＝0．

∴x2－（m＋1）x＋m＝0．

∴x1＝m ，x2＝1．

∴AB2＝（m－1） 2．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－m．

∴OC2＝（－m） 2．

∵AB2＝2OC2，∴（m－1） 2＝2 （－m） 2．

∴m1＝－1＋，m2＝－1－．

即m的值為－1＋或－1－．