Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為1 cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為2 cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s.

（1）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△APC是等腰三角形？

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

Answer 1

【答案】（1）運(yùn)動(dòng)s時(shí)，△APC是等腰三角形.（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.5 s 或6 s 或6.6 s時(shí)，△BCQ為等腰三角形.

【解析】

（1）根據(jù)題意得，AP=PC，列方程，求解即可；

（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三種情況分別討論得到關(guān)于t的方程，求出t即可．

（1）由題意可知AP=t，PC=

∵AP=PC，

∴t=，

解得，t=，

∴出發(fā)秒后△APC能形成等腰三角形；

（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，

當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，

當(dāng)BQ=BC=6時(shí)，如圖1，過(guò)B作BD⊥AC，則CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，

解得t=或t=-＜0（舍去）；

當(dāng)CQ=BC=6時(shí)，則2t-6=6，解得t=6，

當(dāng)CQ=BQ時(shí)，則∠C=∠QBC，

∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，

∴∠A=∠QBA，

∴QB=QA，

∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，

綜上可知當(dāng)△BCQ為等腰三角形時(shí)，t=或t=6或t=5.5．