Question

【題目】如圖1，直線y＝﹣x+b分別與x軸，y軸交于A（6，0），B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的另一直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB：OC＝3：1

（1）求直線BC的解析式；

（2）直線y＝ax﹣a（a≠0）交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，是否存在這樣的直線EF，使S△BDE＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)P為A點(diǎn)右側(cè)x軸上一動點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)，BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形△BPQ，連接QA并延長交y軸于點(diǎn)K．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，K點(diǎn)的位置是否發(fā)生變化？若不變，求出它的坐標(biāo)；如果會發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x+6；（2）存在，a＝；（3）K點(diǎn)的位置不發(fā)生變化，K（0，﹣6）

【解析】

（1）首先確定B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）由S△BDF＝S△BDE可知只需DF＝DE，即D為EF中點(diǎn)，聯(lián)立解析式求出E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程即可解決問題；

（3）過點(diǎn)Q作QC⊥x軸，證明△BOP≌△PCQ，求出AC＝QC，即可推出∠QAC＝∠OAK＝45°，即可解決問題.

解：（1）∵直線y＝﹣x+b與x軸交于A（6，0），

∴0＝﹣6+b，解得：b＝6，

∴直線AB的解析式是：y＝﹣x+6，

∴B（0，6），

∴OB＝6，

∵OB：OC＝3：1，

∴OC＝2，

∴C（﹣2，0）

設(shè)直線BC的解析式是y＝kx+b，

∴，解得，

∴直線BC的解析式是：y＝3x+6；

（2）存在．

理由： ∵S△BDF＝S△BDE，

∴只需DF＝DE，即D為EF中點(diǎn)，

∵點(diǎn)E為直線AB與EF的交點(diǎn)，

聯(lián)立，解得：，

∴點(diǎn)E（，），

∵點(diǎn)F為直線BC與EF的交點(diǎn)，

聯(lián)立，解得：，

∴點(diǎn)F（，），

∵D為EF中點(diǎn)，

∴，

∴a＝0（舍去），a＝，

經(jīng)檢驗(yàn)，a＝是原方程的解，

∴存在這樣的直線EF，a的值為；

（3）K點(diǎn)的位置不發(fā)生變化．

理由：如圖2中，過點(diǎn)Q作QC⊥x軸，設(shè)PA＝m，

∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，

∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，

∴∠OPB＝∠PQC，

∵PB＝PQ，

∴△BOP≌△PCQ（AAS），

∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，

∴AC＝QC＝6+m，

∴∠QAC＝∠OAK＝45°，

∴OA＝OK＝6，

∴K（0，﹣6）．