Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），得到線段AD，連接BD，交AC于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)α=90時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：PD=2PB；

（2）寫(xiě)出一個(gè)α的值，使得PD=PB成立，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）當(dāng)α=60°(或120°)時(shí)，PD=PB，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)α=90°時(shí)，①依題意即可補(bǔ)全圖形；
②根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可證明PD=2PB；
（2）當(dāng)α的值為60（或120）度時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PD=PB成立．

（1）①如圖

②∵AC＝AD，AB＝AC

∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB

又∵∠BAC＝30°，∠BAD＝90°

∴∠ABD＝∠ADB＝30°

∴AP＝BP

在Rt△APD中，∠ADB＝30°

∴PD＝2AP

∴PD＝2PB

（2）當(dāng)α=60°(或120°)時(shí)，PD=PB

情況Ⅰ：當(dāng)α=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，

∴DF∥BE

∴△DFP∽△BEP

∴

在Rt△ABE中，∠BAC＝30°

∴AC＝2BE

在Rt△ADF中，∠CAD＝60°

∴AD＝DF

又∵AD＝AC＝AB

∴2BE＝DE，即BE＝DF

∴PB＝PD

情況Ⅱ：當(dāng)α=120°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， 過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，

∴DF∥BE

∴△DFP∽△BEP

∴

在Rt△ABE中，∠BAC＝30°

∴AC＝2BE

在Rt△ADF中，∠FAD＝60°

∴AD＝DF

又∵AD＝AC＝AB

∴2BE＝DE，即BE＝DF

∴PB＝PD