Question

【題目】建立模型：如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，頂點(diǎn)C在直線l上．

實(shí)踐操作：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E，求證：△CAD≌△BCE．

模型應(yīng)用：（1）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，將直線l1繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到l2．求l2的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（8，6），作BA⊥y軸于點(diǎn)A，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（a，2a﹣6）位于第一象限內(nèi)．問(wèn)點(diǎn)A、P、Q能否構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請(qǐng)求出此時(shí)a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】實(shí)踐操作：詳見(jiàn)解析；模型應(yīng)用：（1）y=x+4；（2）A、P、Q可以構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，a的值為或4．

【解析】

操作：根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ACD＝∠CBE，根據(jù)全等三角形的判定，可得答案；

應(yīng)用（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD，BD的長(zhǎng)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC的解析式；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)Q在直線AP的下方時(shí)，②當(dāng)Q在直線AP的上方時(shí)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

操作：如圖1：

∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．

在△ACD和△CBE中，∵，∴△CAD≌△BCE（AAS）；

（1）∵直線yx+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，∴A（0，4）、B（﹣3，0）．如圖2：

過(guò)點(diǎn)B做BC⊥AB交直線l2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸．

在△BDC和△AOB中，∵，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，3）．

設(shè)l2的解析式為y＝kx+b，將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：，解得：，l2的函數(shù)表達(dá)式為yx+4；

（2）由題意可知，點(diǎn)Q是直線y＝2x﹣6上一點(diǎn)．分兩種情況討論：

①當(dāng)Q在直線AP的下方時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點(diǎn)E、F．

在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，解得：a＝4．

②當(dāng)Q在直線AP的上方時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點(diǎn)E、F，AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．

在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，解得：a．

綜上所述：A．P、Q可以構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，a的值為或4．