Question

4．△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6．
（1）如圖1，若AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，求CE的長與$\frac{CD}{BD}$的比值；
（2）如圖2，將邊AC折疊，使得AC在AB邊上，折痕為AM，再將邊MB折疊，使得MB′與MC′重合，折痕為MN，求AN的長．

Answer 1

分析 （1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得CE的長；
（2）先根據(jù)兩角對應(yīng)相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得NC′與B′N的數(shù)量關(guān)系，最后結(jié)合BC′的長為1，求得NC′的長，進(jìn)而得到AN的長度．

解答 解：（1）如圖1，∵AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，
∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，
∴ED=EA，即三角形ADE是等腰三角形，
設(shè)CE=x，則AE=4-x=DE，
由DE∥AB，可得
$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{4-x}{5}$=$\frac{x}{4}$，
解得x=$\frac{16}{9}$，
∴CE=$\frac{16}{9}$，
由DE∥AB，可得
$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{EA}$=$\frac{\frac{16}{9}}{4-\frac{16}{9}}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{4}{5}$；

（2）由折疊得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4，
∴△ABC∽△NB′C′，
∴$\frac{NC′}{NB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
設(shè)NC′=4a，則BN=B′N=5a，
∵BC'=AB-AC′=5-4=1，
∴NC′+BN=1，即4a+5a=1，
解得a=$\frac{1}{9}$，
∴NC′=$\frac{4}{9}$，
∴AN=$\frac{4}{9}$+4=$\frac{40}{9}$．

點(diǎn)評 本題以折疊問題為背景，主要考查了平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，具有一定的難度．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，解題時(shí)應(yīng)重點(diǎn)把握對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．