Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3，頂點(diǎn)為M．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3；(2)S=﹣m2+m+（1≤m＜3）；(3) （， ）（1+，4﹣）（2，2）．

【解析】解：（1）∵OB=OC=3，

∴B（3，0），C（0，3）

∴,

解得,

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1， 4）

設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，

則有,

解得,

∴直線MB的解析式為y=﹣2x+6,

∵PQ⊥x軸，OQ=m，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6）

S四邊形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AOCO+（PQ+CO）OQ（1≤m＜3）

=×1×3+（﹣2m+6+3）m=﹣m2+m+；

（3）線段BM上存在點(diǎn)N（， ），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形,

CM=，CN=，MN=

①當(dāng)CM=NC時(shí)， ，

解得x1=，x2=1（舍去）

此時(shí)N（， ），

②當(dāng)CM=MN時(shí)， ，

解得x1=1+，x2=1-舍去），

此時(shí)N（1+，4﹣）.

③當(dāng)CN=MN時(shí)， ,

解得x=2，此時(shí)N（2，2）．