Question

【題目】如圖，已知數(shù)軸上有三點(diǎn) A，B，C ，若用 AB 表示 A，B 兩點(diǎn)的距離，AC 表示 A ，C 兩點(diǎn)的 距離，且 BC 2 AB ，點(diǎn) A 、點(diǎn)C 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a 、c ，且| a 20 | | c 10 | 0 .

（1）若點(diǎn) P，Q 分別從 A，C 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度分別為 2 個(gè)單位長度/秒、5個(gè)單位長度/ 秒，則運(yùn)動(dòng)了多少秒時(shí)，Q 到 B 的距離與 P 到 B 的距離相等？

（2）若點(diǎn) P ，Q 仍然以（1）中的速度分別從 A ，C 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，2 秒后，動(dòng)點(diǎn) R 從 A點(diǎn)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) R 的速度為1個(gè)單位長度/秒，點(diǎn) M 為線段 PR 的中點(diǎn)，點(diǎn) N為線段 RQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)了x 秒時(shí)恰好滿足 MN AQ 25，請(qǐng)直接寫出x的值.

Answer 1

【答案】（1）秒或10秒；（2）或．

【解析】

（1）由絕對(duì)值的非負(fù)性可求出a，c的值，設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，結(jié)合BC 2 AB，求出b的值，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)，根據(jù)“Q到B的距離與P到B的距離相等”列方程求解即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)了x秒時(shí)，分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為，得出AQ的長，

由中點(diǎn)的定義表示出點(diǎn)M、點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)，求出MN的長．根據(jù)MN+AQ=25列方程，分三種情況討論即可．

（1）∵|a-20|+|c+10|=0，

∴a-20=0，c+10=0，

∴a=20，c=﹣10．

設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b．

∵BC=2AB，∴b﹣（﹣10）=2（20﹣b）．

解得：b=10．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為20+2t，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣10+5t．

∵Q到B的距離與P到B的距離相等，

∴|﹣10+5t﹣10|=|20+2t﹣10|，

即5t﹣20=10+2t或20﹣5t=10+2t，

解得：t=10或t=．

答：運(yùn)動(dòng)了秒或10秒時(shí)，Q到B的距離與P到B的距離相等．

（2）當(dāng)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)了x秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為20+2（x+2）=2x+24，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣10+5（x+2）=5x，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為20﹣x，∴AQ=|5x﹣20|．

∵點(diǎn)M為線段PR的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段RQ的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為=，

點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為2x+10，

∴MN=|﹣（2x+10）|=|12﹣1.5x|．

∵MN+AQ=25，∴|12﹣1.5x|+|5x﹣20|=25．

分三種情況討論：

①當(dāng)0＜x＜4時(shí)，12﹣1.5x+20﹣5x=25，

解得：x=；

當(dāng)4≤x≤8時(shí)，12﹣1.5x+5x﹣20=25，

解得：x=＞8，不合題意，舍去；

當(dāng)x＞8時(shí)，1.5x﹣12+5x﹣20=25，

解得：x．

綜上所述：x的值為或．