【題目】已知拋物線y=x2+(2m+1)x+m(m﹣3)(m為常數,﹣1≤m≤4).A(﹣m﹣1,y1),B(,y2),C(﹣m,y3)是該拋物線上不同的三點,現將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉90°得到直線a,過拋物線頂點P作PH⊥a于H.
(1)用含m的代數式表示拋物線的頂點坐標;
(2)若無論m取何值,拋物線與直線y=x﹣km(k為常數)有且僅有一個公共點,求k的值;
(3)當1<PH≤6時,試比較y1,y2,y3之間的大。
【答案】(1)頂點坐標(﹣,﹣);(2)k=3;(3)﹣1≤m<﹣或<m≤時,有y2>y1=y3,﹣<m<﹣時,有y2<y1=y3.
【解析】
試題分析:(1)根據頂點坐標公式表示出頂點坐標即可;(2)把兩個解析式聯(lián)立后得一個一元二次方程,利用△=0即可求k值;(3)首先證明y1=y3,再根據點B的位置,分類討論,①令<﹣m﹣1,求出m的范圍即可判斷,②令=﹣m﹣1,則A與B重合,此情形不合題意,舍棄.③令>﹣m﹣1,求出m的范圍即可判斷,④令﹣≤<﹣m,求出m的范圍即可判斷,⑤令=﹣m,B,C重合,不合題意舍棄.⑥令>﹣m,求出m的范圍即可判斷.
試題解析:(1)∵﹣=﹣, =﹣,
∴頂點坐標(﹣,﹣).
(2)由消去y得x2+2mx+(m2+km﹣3m)=0,
∵拋物線與x軸有且僅有一個公共點,
∴△=0,即(k﹣3)m=0,
∵無論m取何值,方程總是成立,
∴k﹣3=0,
∴k=3,
(3)PH=|﹣﹣(﹣)|=||,
∵1<PH≤6,
∴當>0時,有1<≤6,又﹣1≤m≤4,
∴<m≤,
當<0時,1<﹣≤6,又∵﹣1≤m≤4,
∴﹣1,
∴﹣1≤m<﹣或<m≤,
∵A(﹣m﹣1,y1)在拋物線上,
∴y1=(﹣m﹣1)2+(2m+1)(﹣m﹣1)+m(m+3)=﹣4m,
∵C(﹣m,y3)在拋物線上,
∴y3=(﹣m)2+(2m+1)(﹣m)+m(m﹣3)=﹣4m,
∴y1=y3,
①令<﹣m﹣1,則有m<﹣,結合﹣1≤m≤﹣,
∴﹣1≤m<﹣,
此時,在對稱軸的左側y隨x的增大而減小,如圖1,
∴y2>y1=y3,
即當﹣1≤m<﹣時,有y2>y1=y3.
②令=﹣m﹣1,則A與B重合,此情形不合題意,舍棄.
③令>﹣m﹣1,且≤﹣時,有﹣<m≤﹣,結合﹣1≤m<﹣,
∴﹣<m≤﹣,
此時,在對稱軸的左側,y隨x的增大而減小,如圖2,
∴y1=y3>y2,
即當﹣<m≤﹣時,有y1=y3>y2,
④令﹣≤<﹣m,有﹣≤m<0,結合﹣1≤m<﹣,
∴﹣≤m<﹣,
此時,在對稱軸的右側y隨x的增大而增大,如圖3,
∴y2<y3=y1.
⑤令=﹣m,B,C重合,不合題意舍棄.
⑥令>﹣m,有m>0,結合<m≤,
∴<m≤,
此時,在對稱軸的右側,y隨x的增大而增大,如圖4,
∴y2>y3=y1,
即當<m≤時,有y2>y3=y1,
綜上所述,﹣1≤m<﹣或<m≤時,有y2>y1=y3,
﹣<m<﹣時,有y2<y1=y3.
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【題目】一次函數y=3x﹣2的圖象上有兩點A(﹣1,y1),B(﹣2,y2),則y1與y2的大小關系為( 。
A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.不能確定
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點C,BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.
(1)當直線l不與底邊AB相交時,求證:ED=AE+BD;
(2)如圖2,將直線l繞點C順時針旋轉,使l與底邊AB相交時,請你探究ED、AE、BD三者之間的數量關系.
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【題目】(1)如圖1,∠MAN=90°,射線AE在這個角的內部,點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.求證:△ABD≌△CAF;
(2)如圖2,點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,點E、F都在∠MAN內部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,求△ACF與△BDE的面積之和.
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【題目】如果長方形ABCD的中心與平面直角坐標系的原點重合,且點A和點B的坐標分別為(-2,3)和(2,3),則矩形ABCD的面積為( )
A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
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【題目】如圖,在所給正方形網格圖中完成下列各題:(用直尺畫圖,保留痕跡)
(1)畫出格點△ABC(頂點均在格點上)關于直線DE對稱的△A1B1C1;
(2)在DE上畫出點Q,使QA+QC最小.
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【題目】根據下列已知條件,能唯一畫出△ABC的是( )
A. AB=3,BC=4,AC=8 B. AB=4,BC=3,∠A=30°
C. ∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D. ∠C=90°,AB=6
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