Question

10．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-（2k-1）x+k²+1與x軸有2個交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若與x軸交點的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，且它們的倒數(shù)之和是-$\frac{3}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=x²-（2k-1）x+k²+1的圖象與x軸有兩交點，得出x²-（2k-1）x+k²+1=0時，有兩個不相等的實數(shù)根，從而可知△＞0，解不等式即可得出答案；
（2）由根與系數(shù)關(guān)系得出方程，解方程即可得出答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-（2k-1）x+k²+1的圖象與x軸有兩交點，
∴當(dāng)y=0時，x²-（2k-1）x+k²+1=0有兩個不相等的實數(shù)根．
∴△=b²-4ac=[-（2k-1）]²-4×1×（k²+1）＞0．
解得k＜-$\frac{3}{4}$；
（2）當(dāng)y=0時，x²-（2k-1）x+k²+1=0．
則x₁+x₂，=2k-1，x₁•x₂=k²+1，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{2k-1}{{k}^{2}+1}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：k=-1或k=$\frac{1}{3}$（舍去），
∴k=-1．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、根與系數(shù)關(guān)系；解題關(guān)鍵是能將二次函數(shù)與一元二次方程建立關(guān)系，根據(jù)根的情況，可知△的值．