如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OABC,∠AOC=90°,ABOC,OC在x軸上,過A、B、C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為y=-
1
18
x2+
4
9
x+10

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如果在梯形OABC內(nèi)有一矩形MNPO,使M在y軸上,N在BC邊上,P在OC邊上,當(dāng)MN為多少時(shí),矩形MNPO的面積最大?最大面積是多少?
(3)若用一條直線將梯形OABC分為面積相等的兩部分,試說明你的分法.
(1)由圖形得,點(diǎn)A橫坐標(biāo)為0,將x=0代入y=-
1
18
x2+
4
9
x+10
,
得y=10,
∴A(0,10)
∵ABOC,
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為10,將y=10代入拋物線表達(dá)式得,
10=-
1
18
x2+
4
9
x+10
,
∴x1=0,x2=8.
∵B點(diǎn)在第一象限,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,10)
∵C點(diǎn)在x軸上,
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,將y=0代入拋物線表達(dá)式得,
-
1
18
x2+
4
9
x+10=0

解得x1=-10,x2=18.
∵C在原點(diǎn)的右側(cè),
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(18,0). (4分)
(2)法一:過B作BQ⊥OC,交MN于H,交OC于Q,則Rt△BNHRt△BCQ,
BH
BQ
=
HN
QC
. (5分)
設(shè)MN=x,NP=y,則有
10-y
10
=
x-8
18-8

∴y=18-x. (6分)
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴當(dāng)x=9時(shí),有最大值81.
即MN=9時(shí),矩形MNPO的面積最大,最大值為81. (8分)

法二:過B作BQ⊥x軸于Q,則Rt△CPNRt△CQB,
CP
CQ
=
NP
BQ

設(shè)MN=x,NP=y,則有
18-x
18-8
=
y
10

∴y=18-x.
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴當(dāng)x=9時(shí),有最大值81.
即MN=9時(shí),矩形MNPO的面積最大,最大值為81.
法三:利用Rt△BHNRt△NPC也能解答,解答過程與法二相同.
法四:過B點(diǎn)作BQ⊥x軸于Q,則Rt△BQCRt△NPC,
QC=OC-OQ=18-8=10,又QB=OA=10,
∴△BQC為等腰直角三角形,
∴△NPC為等腰直角三角形.
設(shè)MN=x時(shí)矩形MNPO的面積最大.
∴PN=PC=OC-OP=18-x.
∴S矩形MNOP=MN•PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴當(dāng)x=9時(shí),有最大值81.
即MN=9時(shí),矩形MNPO的面積最大,最大值為81.
(3)①對(duì)于任意一條直線,將直線從直角梯形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過程中,總有一個(gè)位置使得直線將該梯形面積分割
成相等的兩部分.

②過上、下底作一條直線交AB于E,交OC于F,且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可. (4分)

③構(gòu)造一個(gè)三角形,使其面積等于整個(gè)梯形面積的一半,因此有:
△OCP1P1(0,
65
9
)
;△OCP2,P2(
97
9
,
65
9
)
;△OAP3,P3(13,0);△CBP4,P4(5,0);
④平行于兩底的直線,一定會(huì)有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分;
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)交x軸于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0),交y軸于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo);(用a的代數(shù)式表示)
(2)直線y=x+d經(jīng)過C、M兩點(diǎn),并且與x軸交于點(diǎn)D.
①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
②若四邊形CDAN是平行四邊形,且點(diǎn)N在拋物線上,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(______,______);
③設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

小明在一次高爾夫球的練習(xí)中,在某處擊球,其飛行路線滿足拋物線y=-
1
4
x2+2x,其中y(m)是球的飛行高度,x(m)是球飛出的水平距離,結(jié)果球離球洞的水平距離還有2m.
(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求出球飛行的最大水平距離;
(3)若小明第二次仍從此處擊球,使其最大高度不變,而球剛好進(jìn)洞,則球飛行的路線滿足拋物線的解析式是什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知直線y=
1
2
x與拋物線y=ax2+b(a≠0)交于A(-4,-2),B(6,3)兩點(diǎn).拋物線與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)在拋物線上存在點(diǎn)M,是△MAB是以AB為底邊的等腰三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△PAC的面積是△ABC面積的
3
4
?若存在,試求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y=-x2+2bx-(2b-1)(b為常數(shù))與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)(x2>x1>0)兩點(diǎn),設(shè)OA•OB=3(O為坐標(biāo)系原點(diǎn)).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,求證:點(diǎn)D是△ABC的外心;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△ABP=1?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知y=x2-ax+a+2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D(0,8),直線CD平行于x軸,交拋物線于另一點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿C?D運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿A?B運(yùn)動(dòng),連接PQ,CB,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒.(0<t<2).
(1)求a的值;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),PQ平行于y軸;
(3)當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí),求t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,4)且與x軸交于(-2,0),(2,0).

(1)直接寫出拋物線解析式;
(2)如圖,將拋物線向右平移k個(gè)單位,設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸的交點(diǎn)為A、B,與原拋物線的交點(diǎn)為P.
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí),求此時(shí)k的值;
②是否存在這樣的k值,使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上?若存在,求出k值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格(每個(gè)小方格的邊長均為1個(gè)單位長),其對(duì)稱中心為點(diǎn)O.
如圖1,有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形EFGH的對(duì)稱中心也是點(diǎn)O,它以每秒1個(gè)單位長的速度由起始位置向外擴(kuò)大(即點(diǎn)O不動(dòng),正方形EFGH經(jīng)過一秒由6×6擴(kuò)大為8×8;再經(jīng)過一秒,由8×8擴(kuò)大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時(shí)的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴(kuò)大、再縮。
另有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個(gè)單位長的速度,沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A→B→C→D→A移動(dòng)(即正方形MNPQ從點(diǎn)P與點(diǎn)A重合位置開始,先向左平移,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,它們的重疊部分面積為y個(gè)平方單位.
(1)當(dāng)正方形MNPQ第一次回到起始位置時(shí),正方形EFGH是否也變化到起始位置?
(2)請(qǐng)你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時(shí),正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(3)正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前(即x≤7時(shí)),何時(shí)正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+1.
(1)寫這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),并求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在給定的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)大致圖象,并求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所組成的三角形的面積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案