Question

6．如圖，以點(diǎn)P（-1，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2$\sqrt{3}$，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是線段MC（不包括兩端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠MQG的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，說(shuō)明理由；如果不變，求出∠MQG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)垂徑定理，求出圓的半徑，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出三角形ABC和三角形BCM所有角的度數(shù)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)和相應(yīng)角的度數(shù)判定點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，進(jìn)而可以求出∠MQG=2∠MBG=120°．

解答 解：（1）連接PA：
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$．
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0），
∴OP=1．
∴PA=2．
∴BP=CP=2．
∴B（-3，0），C（1，0）．

（2）∠MQG的大小不發(fā)生變化，∠MQG=120°．
∵△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，
∴∠BMC=90°．∠MBC=∠BCA
∵∠COA=90°，OC=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OCA=$\sqrt{3}$．
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∵EG⊥BO，
∵∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，
∴QM=QE=QB=QG．
∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖2所示．
∴∠MQG=2∠MBG=120°．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了圓的綜合性質(zhì)，通過(guò)圓與三角形旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)圓綜合性質(zhì)的考查，題目整體較難，適合學(xué)生課后培優(yōu)訓(xùn)練．