Question

【題目】我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點為A．

（1）試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動點”的坐標；

（2）平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的“不動點”為（0，0），（3，3）；（2）新拋物線的解析式為y＝x2+2x

【解析】

（1）設拋物線y＝x2﹣2x的“不動點”的坐標（t，t），則t＝t2﹣2t，求得t＝0或t＝3；

（2）OC∥AB時，設B（m，m），則新拋物線的對稱軸為x＝m，與x軸的交點C（m，0），當OC∥AB，由A（1，﹣1），B（m，m），可求m＝﹣1，故新拋物線是拋物線y＝x2﹣2x向左平移2個單位得到的；當OB∥AC時，同理可得：拋物線解析式y＝﹣（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，當四邊形OABC是梯形，字母順序不對，故舍去；

解：（1）設拋物線y＝x2﹣2x的“不動點”的坐標（t，t），

則t＝t2﹣2t，

∴t＝0或t＝3，

∴拋物線的“不動點”為（0，0），（3，3）；

（2）當OC∥AB時，

∵新拋物線頂點B為“不動點”，則設點B（m，m），

∴新拋物線的對稱軸為：x=m，與x軸的交點C（m，0），

∵四邊形OABC是梯形，

∴直線x=m在y軸左側，

∵BC與OA不平行，

∴OC∥AB，

又∵點A（1，-1），點B（m，m），

∴m=-1，

故新拋物線是由拋物線y=x2-2x向左平移2個單位得到的，

∵原拋物線y＝x2﹣2x=（x-1）2-1，

∴平移后的拋物線為：y=（x+1）2-1=x2+2x；

當OB∥AC時，

同理可得：拋物線的表達式為：y=（x-2）2+2=x2-4x+6，

當四邊形OABC是梯形，字母順序不對，故舍去，

綜上，新拋物線的表達式為：y= x2+2x．

綜上所述：新拋物線的解析式為y＝x2+2x．