Question

【題目】對于一個關于的代數(shù)式,若存在一個系數(shù)為正數(shù)關于的單項式,使 的結果是所有系數(shù)均為整數(shù)的整式，則稱單項式為代數(shù)式的“整系單項式” ，例如：

當 時，由于 ，故是的整系單項式；

當 時，由于 ，故是的整系單項式；

當 時，由于 ，故是的整系單項式；

當 時，由于 ，故是的整系單項式；

顯然，當代數(shù)式存在整系單項式時，有無數(shù)個，現(xiàn)把次數(shù)最低，系數(shù)最小的整系單項式記為 ,例如： .

閱讀以上材料并解決下列問題：

⑴.判斷：當 時， 的整系單項式（填“是”或“不是”）；

⑵.當 時， = ;

⑶.解方程：.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）；（3）無解.

【解析】

（1）當A=時，F=2x3時，；

（2）結合定義進行判斷，即可求出F（A）；

（3）結合定義即可求出F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，將所求方程轉化為即可求解.

（1）當A=時，F=2x3時，

∴是2x3的整系單項式；

（2）∵

∴

∵F（A）是A的系數(shù)最小的整系單項式，

∴=；

（3） 易求F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，

∴可以化為，

∴x2-2x+1=0，

∴x=1；

經檢驗x=1是方程的增根，

∴原方程無解.