Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q，連接BP、EQ．

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F為AB的中點(diǎn)，OF+OB=9，求PE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PE=.

【解析】

（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB=PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由三角形中位線定理可得AE=2OF，由勾股定理可得AE=8，再由勾股定理可得PB的長．

（1）證明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB=PE，OB=OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO=∠QBO，

在△BOQ與△EOP中，

，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE=QB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB=QE，

∴四邊形BPEQ是菱形；

（2）∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，OB=OE，OF+OB=9，

∴AE=2OF，BE=2OB，AE+BE=18

設(shè)AE=x，BE=18-x，

∵BE2=AB2+AE2，

∴（18-x）2=36+x2，

∴x=8

∵AB2+AP2=PB2，

∴36+（8-PB）2=PB2，

∴PB=

∴PE=.