【題目】(11分)如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(2,﹣3a),對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)是M.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)經(jīng)過C,M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N,在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)直線y=﹣x+3與y軸的交點(diǎn)是D,在線段BD上任取一點(diǎn)E(不與B,D重合),經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F,試判斷△AEF的形狀,并說明理由;
(4)當(dāng)E是直線y=﹣x+3上任意一點(diǎn)時(shí),(3)中的結(jié)論是否成立(請直接寫出結(jié)論).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,P(2,﹣3);(3)△AEF是等腰直角三角形.理由見解析;(4)△AEF是等腰直角三角形.
【解析】試題分析:(1)依題意聯(lián)立方程組求出a,b的值后可求出函數(shù)表達(dá)式;
(2)分別令x=0,y=0求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),然后易求直線CM的解析式.證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)D,B的坐標(biāo).然后證明∠AFE=∠ABE=45°,AE=AF,可證得三角形AEF是等腰直角三角形;
(4)根據(jù)(3)中所求,即可得出當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時(shí),(3)中的結(jié)論仍成立.
試題解析:(1)根據(jù)題意,得,
解得,
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3;
(2)存在.連接AP,CP,
如下圖所示:
在y=x22x3中,令x=0,得y=3.
令y=0,得x22x3=0,
∴x1=1,x2=3.
∴A(1,0),B(3,0),C(0,3).
又y=(x1)24,
∴頂點(diǎn)M(1,4),
容易求得直線CM的表達(dá)式是y=x3.
在y=x3中,令y=0,得x=3.
∴N(3,0),
∴AN=2,
在y=x22x3中,令y=3,得x1=0,x2=2.
∴CP=2,
∴AN=CP.
∵AN∥CP,
∴四邊形ANCP為平行四邊形,此時(shí)P(2,3);
(3)△AEF是等腰直角三角形.
理由:在y=x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=3.
∴直線y=x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是D(0,3),B(3,0).
∴OD=OB,
∴∠OBD=45°,
又∵點(diǎn)C(0,3),
∴OB=OC.
∴∠OBC=45°,
由圖知∠AEF=∠ABF=45°,∠AFE=∠ABE=45°,
∴∠EAF=90°,且AE=AF.
∴△AEF是等腰直角三角形;
(4)當(dāng)點(diǎn)E是直線y=x+3上任意一點(diǎn)時(shí),(3)中的結(jié)論:△AEF是等腰直角三角形成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,,,點(diǎn)D在x軸上,若在線段包括兩個(gè)端點(diǎn)上找點(diǎn)P,使得點(diǎn)A,D,P構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有1個(gè),下列選項(xiàng)中滿足上述條件的點(diǎn)D坐標(biāo)不可以是
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[背景知識]數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具,利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美的結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律:數(shù)軸上A點(diǎn)、B點(diǎn)表示的數(shù)為a、b,則A,B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|,若a>b,則可簡化為AB=a﹣b;線段AB的中點(diǎn)M表示的數(shù)為.
[問題情境]
已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn),分別表示的數(shù)為﹣10,8,點(diǎn)A以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動,點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位向左勻速運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒(t>0).
[綜合運(yùn)用]
(1)運(yùn)動開始前,A、B兩點(diǎn)的距離為 ;線段AB的中點(diǎn)M所表示的數(shù) .
(2)點(diǎn)A運(yùn)動t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為 ;點(diǎn)B運(yùn)動t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為 ;(用含t的代數(shù)式表示)
(3)它們按上述方式運(yùn)動,A、B兩點(diǎn)經(jīng)過多少秒會相遇,相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是什么?
(4)若A,B按上述方式繼續(xù)運(yùn)動下去,線段AB的中點(diǎn)M能否與原點(diǎn)重合?若能,求出運(yùn)動時(shí)間,并直接寫出中點(diǎn)M的運(yùn)動方向和運(yùn)動速度;若不能,請說明理由.(當(dāng)A,B兩點(diǎn)重合,則中點(diǎn)M也與A,B兩點(diǎn)重合)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛快車從甲地駛往乙地,一輛慢車從乙地駛往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),勻速行駛,設(shè)行駛的時(shí)間為x(時(shí)),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙地過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系,已知兩車相遇時(shí)快車比慢車多行駛40千米,快車到達(dá)乙地時(shí),慢車還有( )千米到達(dá)甲地.
A. 70 B. 80 C. 90 D. 100
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AD,BC上的點(diǎn),且AE=CF,直線EF分別交BA的延長線、DC的延長線于點(diǎn)G,H,交BD于點(diǎn)O.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接DG,若DG=BG,則四邊形BEDF是什么特殊四邊形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、BC邊上的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CF∥AB,交DE的延長線于F點(diǎn),連接CD、BF.
(1)求證:△BDE≌△CFE;
(2)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形BDCF是矩形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ABC=90°,D是直線AB上的點(diǎn),AD=BC.
(1)如圖1,過點(diǎn)A作AF⊥AB,截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷△CDF的形狀并證明;
(2)如圖2,E是直線BC上一點(diǎn),且CE=BD,直線AE、CD相交于點(diǎn)P,∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)去25km遠(yuǎn)的B地,甲騎車,乙步行,甲的速度是乙的速度的3倍,甲到達(dá)B地停留40min,然后從B地返回A地,在途中遇見乙,這時(shí)距他們出發(fā)的時(shí)間恰好為3h.
(1)若設(shè)乙的速度為x km/h,則甲的速度為 km/h,甲遇見乙時(shí),乙走的路程可以表示為 km,甲走的路程可以表示為 km.
(2)兩人的速度分別是多少?(請用方程來解決問題)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中點(diǎn),DE⊥BC,CE//AD,若AC=2,CE=4,則四邊形ACEB的周長為 ▲ .
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