Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，對(duì)角線AC⊥AB，點(diǎn)E、F分別是BC，AD上的點(diǎn)，且BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）①當(dāng)BE長(zhǎng)度為5時(shí)，四邊形AECF是菱形．
②當(dāng)BE長(zhǎng)度為3.6時(shí)，四邊形AECF是矩形．
（3）求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，再證明AF=EC，可證明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）①由菱形的性質(zhì)得出AE=CE，得出∠EAC=∠ECA，由角的互余關(guān)系證出∠B=∠BAE，得出AE=BE，即可得出結(jié)果；
②由矩形的性質(zhì)得出∠AEC=∠AEB=90°，證出△ABE∽△CBA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出BE的長(zhǎng)；
（3）由勾股定理求出AC，平行四邊形的面積=AB•AC，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：①∵四邊形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ECA=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=5；
故答案為：5；
②∵四邊形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}$，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{6}^{2}}{10}$=3.6；
故答案為：3.6；
（3）解：∵AC⊥AB，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴平行四邊形ABCD的面積=AB•AC=6×8=48．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．