Question

18．問題探究：
（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點E、H分別在BC、AB上，若AE⊥DH于點O，求證AE=DH；
類比探究：
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
拓展應(yīng)用：
（3）已知，如圖3，在（2）問條件下，若BC=4，E為BC的中點，AF=$\frac{1}{4}$AD，求HG的長

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；
（3）過點F作FP⊥BC于點P，利用勾股定理得出EF的長，進(jìn)而得出HG的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO，
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠DAH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）解：EF=GH．
理由：如圖2，將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．
將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，
所以EF=GH；

（3）解：如圖3，

過點F作FP⊥BC于點P，
∵四邊形ABCD是正方形，BC=4，
∴AD=BC=AB=FP=4，
∵E為BC的中點，AF=$\frac{1}{4}$AD，
∴BE=2，AF=1，
∴PE=2-1=1，
在Rt△FPE中，EF=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
由（2）得：HG=EF，
∴HG=$\sqrt{17}$．

點評 本題考查了四邊形綜合以及三角形的綜合知識，用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大．