Question

【題目】（1）如圖1，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，且平分.

①求證：四邊形是菱形；

②直接寫出的度數(shù)；

（2）把（1）中菱形進(jìn)行分離研究，如圖2，分別在邊上，且，連接為的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接.試探究線段與之間滿足的關(guān)系，并說明理由；

（3）把（1）中矩形進(jìn)行特殊化探究，如圖3，矩形滿足時(shí)，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).請(qǐng)直接寫出線段三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1)①見解析;②60°;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，由OB=OD，推出四邊形EBFD是平行四邊形，再證明EB=ED即可；②先證明∠ABD=2∠ADB，推出∠ADB=30°，即可解決問題；

（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，由菱形性質(zhì)，，得，由此，由ASA可證得，由此，故

，由，可證得是等邊三角形，可得，，由SAS可證，可得，即是等邊三角形，

在中，由，，可得，由此可得；

（3）結(jié)論：EG2=AG2+CE2．如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，先證明△DEG≌△DEM，再證明△ECM是直角三角形即可解決問題．

（1）①證明：如圖1中，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∴四邊形是菱形．

②∵四邊形是菱形，

∴，

∵平分，

∴，

∴=，

∵四邊形是矩形，

∴A=，

∴+=，

∴==，

∴；

（2）結(jié)論：．

理由：如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接．

∵四邊形是菱形，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

在中，∵，，

∴，

∴．

（3）結(jié)論：．

理由：如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，

∵∠FAD+∠DEF=90°，

∴AFED四點(diǎn)共圓，

∴∠EDF=∠DAE=45°，∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠EDC=45°，

∵∠ADF=∠CDM，

∴∠CDM+∠CDE=45°=∠EDG，

在△DEM和△DEG中，

，

∴△DEG≌△DEM，

∴GE=EM，

∵∠DCM=∠DAG=∠ACD=45°，AG=CM，

∴∠ECM=90°，

∴EC2+CM2=EM2，

∵EG=EM，AG=CM，

∴GE2=AG2+CE2．