Question

10．如圖，在邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以每秒3cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）CQ的長(zhǎng)為（8-3t）cm（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）連接DQ并把DQ沿DC翻折交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DP，DQ，PQ．
①若S_△ADP=S_△DFQ，求t的值；
②當(dāng)DP⊥DF時(shí)，求t的值，并判斷△PDQ與△FDQ是否全等、∠PDQ是否等于45°？

Answer 1

分析 （1）可知BQ=3t，用CQ=BC-BQ可表示出CQ；
（2）①用t可分別表示出AP和CQ，從而可表示出△ADP和△DFQ的面積，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；②由條件可知△DAP≌△DCQ，由AP=CQ可求得t的值，在Rt△BPQ中，可求得PQ的長(zhǎng)，進(jìn)一步可判斷△PDQ與△FDQ不全等．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=AD=CD=8cm，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，則BQ=3tcm，
∴CQ=BC-BQ=（8-3t）cm，
故答案為：（8-3t）；
（2）①由題意可知CQ=CF，
∴QF=2CQ=2（8-3t）cm，且AP=tcm，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$AD•AP=4t，S_△DFQ=$\frac{1}{2}$QF•CD=8（8-3t），
∵S_△ADP=S_△DFQ，
∴4t=8（8-3t），
解得t=$\frac{16}{7}$；
②當(dāng)DP⊥DF時(shí)，則有∠ADP+∠PDQ=∠PDQ+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，且∠DAP=∠DCF=90°，
在△DAP和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠DAP=∠DCF}\end{array}\right.$
∴△DAP≌△DCF（ASA），
∴CF=AP=CQ，
∴t=8-3t，解得t=2秒，
∴BP=BQ=6cm，QF=2CQ=4cm，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ=6$\sqrt{2}$，
在△PDQ和△FDQ中，PD=DF，DQ=DQ，又PQ≠Q(mào)F，
∴△PDQ與△FDQ不全等，∠PDQ≠45°．

點(diǎn)評(píng) 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等．對(duì)于運(yùn)動(dòng)型的問(wèn)題，用時(shí)間t表示出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，化動(dòng)為靜是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較為基礎(chǔ)，難度不大．