Question

【題目】已知，在平面直角從標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C（m，6）為反比例函數(shù)y=圖象上一點(diǎn)．將△AOB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△A′O′B處．

（1）求m的值；

（2）若O′落在OC上，連接AA′交OC與D點(diǎn)．①求證：四邊形ACA′O′為平行四邊形； ②求CD的長(zhǎng)度；

（3）直接寫(xiě)出當(dāng)AO′最短和最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)①證明詳見(jiàn)解析；②﹣1；(3) 當(dāng)AO′最短時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（，），當(dāng)AO′最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（，）．

【解析】

試題分析：（1）只需把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可解決問(wèn)題；

（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1，易證AC=OA=O′A′，要證四邊形ACA′O′為平行四邊形，只需證AC∥O′A′，只需證∠ACO=∠A′O′C即可；

②由平行四邊形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知：當(dāng)點(diǎn)O′在線(xiàn)段AB上時(shí)AO′最短（如圖2），當(dāng)點(diǎn)O′在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)AO′最長(zhǎng)（如圖3）；過(guò)點(diǎn)O′作O′N(xiāo)⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N(xiāo)于M，易證△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′N(xiāo)B，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）∵C（m，6）為反比例函數(shù)y=圖象上一點(diǎn)，

∴m==；

（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，6），

∴CH=，OH=6，

∴tan∠COH=，AC==4，

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四邊形ACA′O′為平行四邊形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等邊三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH=，OH=6，

∴OC=，

∴CO′=OC﹣OO′=﹣2．

∵四邊形ACA′O′為平行四邊形，

∴CD=O′D=CO′=﹣1；

（3）當(dāng)AO′最短時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（，），當(dāng)AO′最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（，）．

提示：①當(dāng)點(diǎn)O′在線(xiàn)段AB上時(shí)，AO′最短，

過(guò)點(diǎn)O′作O′N(xiāo)⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N(xiāo)于M，如圖2．

∵O′N(xiāo)∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴，

∴，

∴BN=，O′N(xiāo)=．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′N(xiāo)B=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′N(xiāo)B，

∴==2，

∴=，=，

∴A′（，）即（，）；

②當(dāng)點(diǎn)O′在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AO′最長(zhǎng)，

過(guò)點(diǎn)O′作O′N(xiāo)⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N(xiāo)于M，如圖3．

同理可得：A′（，）．