Question

3．如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），點(diǎn)E在OB上，∠AEO=30°，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△PAE是等腰三角形時(shí)，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B的坐標(biāo)及∠AEO=30°可得OE=3$\sqrt{3}$，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）分三種情形①當(dāng)EA=EP時(shí)，EP₁=EA=EP₂=6，求出t．②當(dāng)PA=PE時(shí)，設(shè)P₃E=P₃E=x，在Rt△AOP₃中，3²+（3$\sqrt{3}$-x）²=x²，x=$2\sqrt{3}$，求出t即可．③當(dāng)AE=AP時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，不符合題意．
（3）本小題分三種情況討論：①當(dāng)PA⊥AE時(shí)，⊙P與AE相切；②當(dāng)PA⊥AC時(shí)，⊙P與AC相切；③當(dāng)PB⊥BC時(shí)，⊙P與BC相切；分別求出各種情況的t的值．

解答 解：（1）∵A（0，3），B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∵∠AEO=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$3\sqrt{3}$，0）．

（2）如圖1中，

當(dāng)EA=EP時(shí)，EP₁=EA=EP₂=6，此時(shí)t=3$\sqrt{3}$-2或3$\sqrt{3}$+10，
當(dāng)PA=PE時(shí)，設(shè)P₃E=P₃E=x，在Rt△AOP₃中，3²+（3$\sqrt{3}$-x）²=x²，
∴x=$2\sqrt{3}$，此時(shí)t=4+$\sqrt{3}$
當(dāng)AE=AP時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，不符合題意．
綜上所述，當(dāng)△PAE是等腰三角形時(shí)，t的值為（3$\sqrt{3}$-2）s或（3$\sqrt{3}+10$）s或（4+$\sqrt{3}$）s．

（3）由題意知，若⊙P與四邊形AEBC的邊相切，有以下三種情況：
①如圖2中，當(dāng)PA⊥AE時(shí)，⊙P與AE相切，

∵∠AEO=30°，AO=3，
∴∠APO=60°，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴QP=QO-PO=4-$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，
∴t=4-$\sqrt{3}$（秒）．
②如圖3中，當(dāng)PA⊥AC時(shí)，⊙P與AC相切，

∵QO=4，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，
∴t=4（秒），
③如圖4中，當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，

由題意，PA²=PB²=（10-t）²，PO²=（t-4）²．
于是（10-t）²=（t-4）²+3²．
解得t=$\frac{25}{4}$（秒），
綜上所述，當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，t的值為（4-$\sqrt{3}$）秒或4秒或$\frac{25}{4}$秒．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合，涉及了圓與直線的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．