【題目】如圖,已知正方形ABCD中,以BF為底向正方形外側(cè)作等腰直角三角形BEF,連接DF,取DF的中點(diǎn)G,連接EG,CG.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí),猜想EGCG的數(shù)量關(guān)系為   EGCG的位置關(guān)系為   ,請(qǐng)證明你的結(jié)論.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)FAB上(不與點(diǎn)A重合)時(shí),(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由;如圖3,點(diǎn)FAB的左側(cè)時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?直接做出判斷,不必說明理由.

(3)在圖2中,若BC=4,BF=3,連接EC,求的面積.

【答案】1EG=CGEGCG;(2)當(dāng)點(diǎn)FAB上(不與點(diǎn)A重合)時(shí),(1)中結(jié)論仍然成立,理由見解析,點(diǎn)FAB的左側(cè)時(shí),(1)中的結(jié)論仍然成立;(3SCEG=.

【解析】

1)過EEMADAD的延長(zhǎng)線于M,證明△AME是等腰直角三角形,得出AM=EM=AE=AB,證出DG=AG=AD=AM=EM,得出GM=CD,證明△GEM≌△CGDSAS),得出EG=CG,∠EGM=GCD,證出∠CGE=180°-90°=90°,即可得出EGCG

2)延長(zhǎng)EGH,使HG=EG,連接DH、CH、CE,證明△EFG≌△HDGSAS),得出EF=HD,∠EFG=HDG,證明△CBE≌△CDHSAS),得出CE=CH,∠BCE=DCH,得出∠ECH=BCD=90°,證明△ECH是等腰直角三角形,得出CG=EH=EG,EGCG;延長(zhǎng)EGH,使HG=EG,連接DH、CH、CE,同理可證CG=EH=EGEGCG;

3)作EM垂直于CB的延長(zhǎng)線與M,先求出BM,EM的值,即可根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)度,從而求出CG的長(zhǎng),即可求出面積.

解:(1EG=CG,EGCG;理由如下:

EEMADAD的延長(zhǎng)線于M,如圖1所示:

則∠M=90°,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD=CD,∠BAD=D=90°,

∴∠BAM=90°,

∵△BEF是等腰直角三角形,

∴∠BAE=45°,AE=AB,

∴∠MAE=45°,

∴△AME是等腰直角三角形,

AM=EM=AE=AB,

GDF的中點(diǎn),

DG=AG=AD=AM=EM,

GM=CD

在△GEM和△CGD中,

∴△GEM≌△CGDSAS),

EG=CG,∠EGM=GCD,

∵∠GCD+DGC=90°,

∴∠EGM+DGC=90°,

∴∠CGE=180°-90°=90°,

EGCG;

2)當(dāng)點(diǎn)FAB上(不與點(diǎn)A重合)時(shí),(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:

延長(zhǎng)EGH,使HG=EG,連接DHCH、CE,如圖2所示:

GDF的中點(diǎn),

FG=DG,

在△EFG和△HDG中,,

∴△EFG≌△HDGSAS),

EF=HD,∠EFG=HDG,

∵△BEF是等腰直角三角形,

EF=BE,∠BFE=FBE=45°,

BE=DH,

∵四邊形ABCD是正方形,

ABCD,∠ABC=BCD=90°,BC=CD,

∴∠AFD=CDG,

∴∠AFE=CDH=135°,

∵∠CBE=90°+45°=135°,

∴∠CBE=CDH,

在△CBE和△CDH中,

,

∴△CBE≌△CDHSAS),

CE=CH,∠BCE=DCH,

∴∠ECH=BCD=90°,

∴△ECH是等腰直角三角形,

EG=HG,

CG=EH=EGEGCG;

點(diǎn)FAB的左側(cè)時(shí),(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:

延長(zhǎng)EGH,使HG=EG,連接DHCH、CE,如圖3所示:

GDF的中點(diǎn),

FG=DG,

在△EFG和△HDG中,

,

∴△EFG≌△HDGSAS),

EF=HD,∠EFG=HDG

∵△BEF是等腰直角三角形,

EF=BE,∠BEF=90°,

BE=DH,

∵四邊形ABCD是正方形,

ABCD,∠ABC=BCD=90°,BC=CD,

∴∠BNF=CDG,

∵∠EFG+BNF+BEF+ABE=HDG+CDG+CDH=360°,

∴∠BEF+ABE=CDH,

∴∠ABC+ABE=CDH,即∠CBE=CDH

在△CBE和△CDH中,

∴△CBE≌△CDHSAS),

CE=CH,∠BCE=DCH

∴∠ECH=BCD=90°,

∴△ECH是等腰直角三角形,

EG=HG,

CG=EH=EGEGCG;

3)如下圖所示:作EM垂直于CB的延長(zhǎng)線與M,

△BEF為等腰直角三角形,BF=3,

∴BE=,∠ABE=45°,

EM⊥BMAB⊥CM,

∴∠EBM=45°

△EMB為等腰直角三角形,

EM=BM=,

BC=4

CM=,

CE=,

由(2)知,△GEC為等腰直角三角形,

∴CG=EG=

SCEG=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】完成下面推理過程:

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AB ( )

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∴∠DCE=D( )

( )

∴∠E=DFE( )

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補(bǔ)全圖1;

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2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過程.

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