Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．

(1)求證：CF=BF；

(2)若CD=5，AC=12，求⊙O的半徑和CE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CE=．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，根據(jù)同角的余角相等可證得∠BCE =∠A，又由C是的中點，證得∠DBC =∠A，繼而可證得CF﹦BF；（2）由C是的中點和CD=5可求得BC=5，利用勾股定理求得AB=13，即可求得⊙O的半徑為6.5；在Rt△ACB中，利用三角形面積的兩種表示方法即可求得EC的長.

(1)∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∴∠A+∠ABC=90°．

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°．

∴∠BCE+∠ABC=90°．

∴∠BCE=∠A，

∵C是的中點，

∴=．

∴∠DBC=∠A，

∴∠DBC=∠BCE．

∴CF=BF；

(2)∵=，CD=5，

∴BC=CD=5，

∴AB==13，

∴⊙O的半徑為6.5，

∵CEAB=ACBC，

∴CE===．