Question

13．如圖所示，在等邊△OAB中，OB=4，點(diǎn)A在第一象限．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在3個(gè)點(diǎn)C，使得以A、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C為第一象限的點(diǎn)，且點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以同樣的速度沿射線BC的方向移動(dòng)，試判斷△APQ的形狀；
（4）當(dāng)△APQ周長(zhǎng)最小時(shí)，求出直線PQ的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）過A作AF⊥OB于點(diǎn)F，由等邊三角形的性質(zhì)可求得OF和AF的長(zhǎng)，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）有三種情形，根據(jù)（1）中結(jié)果，直接寫出答案即可．
（3）結(jié)論：△APQ是等邊三角形．只要證明△AOP≌△BAQ，即可推出AP=AQ，∠OAP=∠BAQ，推出∠PAQ=∠OAB=60°．
（4）當(dāng)AP⊥OB時(shí)，△APQ的周長(zhǎng)最小，求出P、Q的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AF⊥OB于F．

∵△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠AOF=60°，
在Rt△AOF中，∵∠AFO=90°，
∴∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，AF=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$）．

（2）如圖2中，

當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{3}$）或（-2，2$\sqrt{3}$）或（2，-2$\sqrt{3}$）時(shí)，以A、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
故答案為3．

（3）結(jié)論：△APQ是等邊三角形．理由如下，
如圖3中，

∵△AOB，△ABC都是等邊三角形，
∴OB=AB，∠AOP=∠ABQ=∠OAB=60°，
∵OP=BQ，
在△AOP和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=BA}\\{∠AOP=∠ABQ}\\{OP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BAQ，
∴AP=AQ，∠OAP=∠BAQ，
∴∠PAQ=∠OAB=60°，
∴△APQ是等邊三角形．

（4）如圖3中，∵當(dāng)AP⊥OB時(shí)，△APQ的周長(zhǎng)最小，
∴OP=PB=2，BQ=OP=CQ=2，
∴P（2，0），Q（5，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{5k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．