Question

20．寫出下列命題的逆命題、判斷真假，并選取其中一個(gè)給予證明．
（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
（2）等腰三角形兩個(gè)底角的角平分線長(zhǎng)相等．

Answer 1

分析 （1）先寫出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ACD，∠BCD=∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BCD+∠B+∠A+∠ACD=180°，代入即可求出∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，即可推出答案；
（2）先寫出逆命題是“有兩個(gè)角的平分線相等的三角形是等腰三角形”，根據(jù)題意寫出已知，求證，設(shè)這個(gè)△ABC，CD、BE分別是∠C和∠B的角平分線，過(guò)點(diǎn)E作∠BEF=∠BCD，使EF=BC，得到△BCD≌△FEB（SAS）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠FBE=∠BDC，BF=DB，設(shè)∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，推出∠FBC=∠CEF＞90°，過(guò)C點(diǎn)作FB的垂線和過(guò)F點(diǎn)作CE的垂線必都在FB和CE的延長(zhǎng)線上．設(shè)垂足分別為G、H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=FH，BC=HE，連接CF，推出Rt△CGF≌△FHC，得到CE=BD，推出△BDC≌△CEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：逆命題是：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
已知，如圖，△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
求證：△ABC是直角三角形，
證明：∵D是AB邊的中點(diǎn)，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）逆命題是“有兩個(gè)角的平分線相等的三角形是等腰三角形”．
已知：在△ABC中，BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，且BD=CE求證：△ABC是等腰三角形，
設(shè)這個(gè)△ABC，CD、BE分別是∠C和∠B的角平分線，
過(guò)點(diǎn)E作∠BEF=∠BCD，使EF=BC，
在△BCD與△FEB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{∠BEF=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FEB（SAS）
∴∠FBE=∠BDC，BF=DB，
設(shè)∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，
∠FBC=∠BDC-+α=180°-2α-β+α=180°-（α+β），
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-（α+β），
∴∠FBC=∠CEF，
∵2α+2β＜180°，
∴α+β＜90°，
∴∠FBC=∠CEF＞90°，
∴過(guò)C點(diǎn)作FB的垂線和過(guò)F點(diǎn)作CE的垂線必都在FB和CE的延長(zhǎng)線上．
設(shè)垂足分別為G、H，
∴∠HEF=∠CBG，
在△CGB與△FHE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠G=90°}\\{∠FEH=∠CBG}\\{EF=BC}\end{array}\right.$，
∴△CGB≌△FHE
∴CG=FH，BC=HE，
連接CF，
在Rt△CGF與△FHC 中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{FH=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGF≌△FHC，
∴FG=CH，
∴BF=CE，
∴CE=BD，
在△BDC與△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{BD=CE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，

∴△BDC≌△CEB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是命題與定理，等腰三角形的性質(zhì)三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判斷和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．