【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng):擦出智慧的火花---------由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
數(shù)學(xué)課上,李老師出示了問(wèn)題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G..
(1)求證:∠BAE=∠FEG.
(2)同學(xué)們很快做出了解答,之后李老師將題目修改成:如圖2,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點(diǎn)F,求證:AE=EF.
經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的解題思路:取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF.請(qǐng)借助圖1完成小明的證明;
在(2)的基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(3)小聰提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小聰?shù)挠^點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)∠AEF=90°,即可得到∠AEB+∠FEG=90°,在直角△ABE中,利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°,然后根據(jù)同角的余角相等,即可證得;
(2)作AB的中點(diǎn)M,連接ME,根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得;
(3)在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME,同(2)根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得.
試題解析:解:(1)∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠FEG=90°.又∵直角△ABE中,∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠FEG;
(2)作AB的中點(diǎn)M,連接ME.
∵正方形ABCD中,AB=BC.又∵AM=MB=AB,BE=CE=BC,∴MB=BE,∴△MBE是等腰直角三角形,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°.又∵∠ECF=180°﹣∠FCG=180°﹣45°=135°,∴∠AME=∠ECF.在△AME和△ECF中,∵∠BAE=∠FEC,AM=EC,∠AME=∠ECF,∴△AME≌△ECF,∴AE=EF;
(3)在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME,∴BM=BE,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°.∵CF是外角平分線,∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°,∴∠AME=∠ECF.
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.在△AME和△ECF中,∵∠BAE=∠FEC,AAM=EC,∠AME=∠ECF,∴△AME≌△ECF(ASA),∴AE=EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(-4,2)、B(0,4)、C(0,2),
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)的△A1B1C;平移△ABC,若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0,-4),畫(huà)出平移后對(duì)應(yīng)的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),則對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解,且這個(gè)分式不可約分,那么我們稱(chēng)這
個(gè)分式為“和諧分式”.
(1)下列分式:①;②;③;④. 其中是“和諧分式”是 (填寫(xiě)序號(hào)即可);
(2)若為正整數(shù),且為“和諧分式”,請(qǐng)寫(xiě)出的值;
(3)在化簡(jiǎn)時(shí),
小東和小強(qiáng)分別進(jìn)行了如下三步變形:
小東:
小強(qiáng):
顯然,小強(qiáng)利用了其中的和諧分式, 第三步所得結(jié)果比小東的結(jié)果簡(jiǎn)單,
原因是: ,
請(qǐng)你接著小強(qiáng)的方法完成化簡(jiǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線,則下列式子中,不能表示“OC是∠AOB的平分線”的是( )
A. ∠AOC=∠BOC B. ∠AOB=2∠BOC
C. ∠AOC=∠AOB D. ∠AOC+∠BOC=∠AOB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,某班同學(xué)用天平和一些物品(如圖)探究了等式的基本性質(zhì).該班科技創(chuàng)新小組的同學(xué)提出問(wèn)題:僅用一架天平和一個(gè)10克的砝碼能否測(cè)量出乒乓球和一次性紙杯的質(zhì)量?科技創(chuàng)新小組的同學(xué)找來(lái)足夠多的乒乓球和某種一次性紙杯(假設(shè)每個(gè)乒乓球的質(zhì)量相同,每個(gè)紙杯的質(zhì)量也相同),經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)得到以下記錄:
記錄 | 天平左邊 | 天平右邊 | 狀態(tài) |
記錄一 | 6個(gè)乒乓球, 1個(gè)10克的砝碼 | 14個(gè)一次性紙杯 | 平衡 |
記錄二 | 8個(gè)乒乓球 | 7個(gè)一次性紙杯, 1個(gè)10克的砝碼 | 平衡 |
請(qǐng)算一算,一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是多少克?一個(gè)這種一次性紙杯的質(zhì)量是多少克?
解:(1)設(shè)一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是克,則一個(gè)這種一次性紙杯的質(zhì)量是______克;(用含的代數(shù)式表示)
(2)列一元一次方程求一個(gè)乒乓球的質(zhì)量,并求出一個(gè)這種一次性紙杯的質(zhì)量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD 中,O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與B,C重合),CN⊥DM,CN與AB交于點(diǎn)N ,連接OM,ON,MN .下列五個(gè)結(jié)論:①△CNB≌△DMC ;②△CON≌△DOM ;③△OMN≌△OAD ;④ ;⑤若AB=2,則 的最小值是 ,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示:
(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是 ,點(diǎn)B表示的數(shù)是 ;
(2)在原圖中分別標(biāo)出表示+1.5的點(diǎn)C、表示﹣3.5的點(diǎn)D;
(3)在上述條件下,B、C兩點(diǎn)間的距離是 ,A、C兩點(diǎn)間的距離是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-1、4,點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x.
(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等,則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是_____;
(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為8?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)現(xiàn)在點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和0.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)從O點(diǎn)(即原點(diǎn))向左運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),求點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是直線上一點(diǎn),,.若平分,則圖中互為補(bǔ)角的對(duì)數(shù)是( ).
A.4對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.7對(duì)
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