【題目】在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1 , 旋轉角為θ(0°<θ<90°),連接AC1、BD1 , AC1與BD1交于點P.
(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形.
①求證:△AOC1≌△BOD1
②請直接寫出AC1 與BD1的位置關系.

(2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形,AC=5,BD=7,設AC1=kBD1 . 判斷AC1與BD1的位置關系,說明理由,并求出k的值.

(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,AC=5,BD=10,連接DD1 , 設AC1=kBD1 . 請直接寫出k的值和AC12+(kDD12的值.

【答案】
(1)

解:證明:如圖1,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,

∴∠AOB=∠COD=90°,

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1,

∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,

∴OC1=OD1,∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1,

在△AOC1和△BOD1

∴△AOC1≌△BOD1(SAS);

②AC1⊥BD1;


(2)

解:AC1⊥BD1

理由如下:如圖2,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴OC=OA= AC,OD=OB= BD,AC⊥BD,

∴∠AOB=∠COD=90°,

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1

∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,

∴OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,

∴△AOC1∽△BOD1,

∴∠OAC1=∠OBD1,

又∵∠AOB=90°,

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,

∴∠APB=90°

∴AC1⊥BD1;

∵△AOC1∽△BOD1,

= = = = ,

∴k= ;


(3)

解:如圖3,與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1

= = = ,

∴k=

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1,

∴OD1=OD,

而OD=OB,

∴OD1=OB=OD,

∴△BDD1為直角三角形,

在Rt△BDD1中,

BD12+DD12=BD2=100,

∴(2AC12+DD12=100,

∴AC12+(kDD12=25.


【解析】(1)①如圖1,根據(jù)正方形的性質得OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,則∠AOB=∠COD=90°,再根據(jù)旋轉的性質得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1 , 則OC1=OD1 , 利用等角的補角相等得∠AOC1=∠BOD1 , 然后根據(jù)“SAS”可證明△AOC1≌△BOD1;②由∠AOB=90°,則∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,則∠APB=90°所以AC1⊥BD1;(2)圖2,根據(jù)菱形的性質得OC=OA= AC,OD=OB= BD,AC⊥BD,則∠AOB=∠COD=90°,再根據(jù)旋轉的性質得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1 , 則OC1=OA,OD1=OB,利用等角的補角相等得∠AOC1=∠BOD1 , 加上 ,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1 , 得到∠OAC1=∠OBD1 , 由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,則∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,則∠APB=90°,所以AC1⊥BD1;然后根據(jù)相似比得到 = = = ,所以k= ;(3)與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1 , 則 = = = ,所以k= ;根據(jù)旋轉的性質得OD1=OD,根據(jù)平行四邊形的性質得OD=OB,則OD1=OB=OD,于是可判斷△BDD1為直角三角形,根據(jù)勾股定理得BD12+DD12=BD2=100,所以(2AC12+DD12=100,于是有AC12+(kDD12=25.

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