Question

15．如圖，已知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，OA=OB，函數(shù)y=-$\frac{8}{x}$的圖象與線段AB交于M點(diǎn)，且AM=BM，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，MD⊥y軸于點(diǎn)D．
（1）求證：MC=MD；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AM=BM得出點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，再根據(jù)MC⊥x軸，MD⊥y軸，故MC∥OB，MD∥OA得出點(diǎn)C和點(diǎn)D分別為OA與OB中點(diǎn)，根據(jù)OA=OB即可得出結(jié)論；
（2）由（1）知，MC=MD，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-a，a）．把M （-a，a）代入函數(shù)y=$-\frac{8}{x}$中求出a的值即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)得出MC，MD的長，故可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線AB的解析式．

解答 （1）證明：∵AM=BM，
∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)
∵M(jìn)C⊥x軸，MD⊥y軸，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D分別為OA與OB中點(diǎn)，
∵OA=OB，
∴MC=MD．

（2）解：∵由（1）知，MC=MD，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-a，a）．
把M （-a，a）代入函數(shù)y=$-\frac{8}{x}$中，解得a=2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$）．

（3）解：∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$），
∴MC=$2\sqrt{2}$，MD=$2\sqrt{2}$，
∴OA=OB=2 MC=$4\sqrt{2}$，
∴A（-$4\sqrt{2}$，0），B（0，$4\sqrt{2}$）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)A（-$4\sqrt{2}$，0）和點(diǎn)B（0，$4\sqrt{2}$）分別代入y=kx+b中，$\left\{\begin{array}{l}-4\sqrt{2}k+b=0\\ b=4\sqrt{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=4\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形中位線定理等知識，此題中根據(jù)題意得出A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．