Question

【題目】已知函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n為實數(shù)）

（1）當m，n取何值時，此函數(shù)是我們學過的哪一類函數(shù)？它一定與x軸有交點嗎？請判斷并說明理由；

（2）若它是一個二次函數(shù)，假設(shè)n＞﹣1，那么：

①當x＜0時，y隨x的增大而減小，請判斷這個命題的真假并說明理由；

②它一定經(jīng)過哪個點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）①假命題，理由見解析。②一定經(jīng)過點（1，4）和（﹣1，0），理由見解析

【解析】

認真審題，首先根據(jù)我們所學過的三類函數(shù)進行分析，并分類討論，可得出第一題的答案，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進行分析可得出第二問的答案．

解：(1)①當m＝1，n≠﹣2時，函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n為實數(shù)）是一次函數(shù)，它一定與x軸有一個交點，

∵當y＝0時，（n+1）xm+mx+1﹣n＝0，∴x＝，

∴函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n為實數(shù)）與x軸有交點；

②當m＝2，n≠﹣1時，函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n為實數(shù)）是二次函數(shù)，

當y＝0時，y＝（n+1）xm+mx+1﹣n＝0，

即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，

△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；

∴函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n為實數(shù)）與x軸有交點；

③當n＝﹣1，m≠0時，函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n是一次函數(shù)，

當y＝0時，x＝，

∴函數(shù)y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n為實數(shù)）與x軸有交點；

(2)①假命題，若它是一個二次函數(shù)，

則m＝2，函數(shù)y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，

∵n＞﹣1，∴n+1＞0，

拋物線開口向上，

對稱軸：﹣＝-＝-＜0，

∴對稱軸在y軸左側(cè)，當x＜0時，y有可能隨x的增大而增大，也可能隨x的增大而減小，

②當x＝1時，y＝n+1+2+1﹣n＝4．

當x＝﹣1時，y＝0．

∴它一定經(jīng)過點（1，4）和（﹣1，0）．

故答案為：(1)當m＝1，n≠﹣2時，是一次函數(shù)，當m＝2，n≠﹣1時，是二次函數(shù) ，當n＝﹣1，m≠0時，是一次函數(shù)，它們與x軸都有一個交點.(2)①假命題；②(1，4)和(﹣1，0).