Question

16．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍；
（3）點P為拋物線上一點，若S_△PAB=10，求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可求出拋物線頂點坐標；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象以及A、B點的坐標即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)P（x，y），根據(jù)三角形的面積公式以及S_△PAB=10，即可算出y的值，代入拋物線解析式即可得出點P的坐標．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）分別代入y=x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標為（1，-4）．
（2）由圖可得當0＜x＜3時，-4≤y＜0．
（3）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
設(shè)P（x，y），則S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①當y=5時，x²-2x-3=5，解得：x₁=-2，x₂=4，
此時P點坐標為（-2，5）或（4，5）；
②當y=-5時，x²-2x-3=-5，方程無解；
綜上所述，P點坐標為（-2，5）或（4，5）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象解不等式；（3）找出關(guān)于y的方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．