Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²-4ax-12a交x軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，直線y=-$\frac{1}{3}$x-6a經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，分別交直線PD于點(diǎn)E、F，若PF=DE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線上，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥DP于點(diǎn)E，交直線BD于點(diǎn)R，當(dāng)QE=ER時(shí)，求點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出a的值．
（2）先確定出OD，再判斷出BT=3PT，進(jìn)而得出∠POL=45°，OP=$\sqrt{2}$m，即可；
（3）由等角的余角相等判斷出∠QDE=∠RDN，進(jìn)而△QMD≌△DNR，再確定出直線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2即可．

解答 解：直線y=2kx-12k交x軸于點(diǎn)B，
∴B（6，0），
∵A（-2，0），B在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{36a+6b+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
（2）如圖2，

過(guò)點(diǎn)P作PL⊥x軸于L，過(guò)B做BT⊥OP，
∵拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵D是OC中點(diǎn)，
∴OD=2，
∴D（0，2），
tan∠ODB=$\frac{OB}{OD}$=3，
∴tan∠OPB=tan∠ODB=3，
∴BT=3PT，
∵P（m，m）在第一象限，
∴PL=OL=m，
∴∠POL=45°，OP=$\sqrt{2}$m，
∴BT=OT，
∵OB=6，
∴OT=BT=3PT=3$\sqrt{2}$，
∴OP=4$\sqrt{2}$，
∴m=4，
∴P（4，4）；此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上，
（3）如圖3，

連接PC，DQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)R作RN⊥y軸，
∵P（4，4），C（0，4），
∴PC⊥y軸，
∴∠PCD=∠PLB=90°，
∵CD=BL=2，PC=PL=4，
∴△PCD≌△PLB，
∴∠CPD=∠LPB，PD=PB，
∴∠DPB=∠DPL+∠LPB=∠DPL+∠CPD=90°，
∴∠PDB=45°，
∵QR⊥PD，QE=ER，
∴DQ=DR，
∴∠QDE=∠PDB=45°，
∴∠QDR=90°，
∴∠QDM+∠RDN=90°，
∵∠QDM+∠DQM=90°，
∴∠QDE=∠RDN，
∵∠QMD=∠DNR=90°，
∴△QMD≌△DNR，
∴QM=DN，DM=NR，
∵D（0，2）在直線y=2kx-12k上，
∴-12k=2，
∴k=-$\frac{1}{6}$，
∴直線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2，
設(shè)R（n，-$\frac{1}{3}$n+2），
∴DM=NR=n，QM=DN=2-（-$\frac{1}{3}$n+2）=$\frac{1}{3}$n，
Q（$\frac{1}{3}$n，n+2），
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴n+2=-$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3}$n）²+$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{3}$n+4，
∴n=3或n=-18（舍），
∴Q（1，5），R（3，1）

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)判斷出BT=3PT．