Question

20．閱讀理解：
如圖1，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與直線l的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．
實(shí)踐運(yùn)用：
如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（-4，3），B（11，5）．
（1）按前述做法，在x軸上找一點(diǎn)C，使CA+CB的值最��；
（2）（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{13}{8}$，0）
拓展延伸：當(dāng)x為何值時(shí)，$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$的值最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）直接找出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，進(jìn)而連接A′B得出點(diǎn)C的位置；
（2）代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$的最小值，相當(dāng)于（0，4）（12，9）之間的距離，利用直角三角形的性質(zhì)可求得AB的值．

解答 解：（1）如圖所示：點(diǎn)C即為所求；

（2）∵點(diǎn)A（-4，3），B（11，5），
∴A′（-4，-3），
設(shè)直線A′B的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-3}\\{11k+b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{8}{15}}\\{b=-\frac{13}{15}}\end{array}\right.$，
則y=$\frac{8}{15}$x-$\frac{13}{15}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{13}{8}$，
故C（$\frac{13}{8}$，0）；
故答案為：（$\frac{13}{8}$，0）；
當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$取到最小值，相當(dāng)于（0，4）（12，9）之間的距離，
所以AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
即$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$的最小值為13．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何變換以及勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的距離求法是解題關(guān)鍵．