Question

15．如圖所示，矩形OABC的頂點A在y軸上，C在x軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$與AB交于點D，與BC交于點E，DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于點G，交DF于點H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面積分別是1和2，則k的值為（　�。�

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設D（t，$\frac{k}{t}$），由矩形OGHF的面積為1得到HF=$\frac{1}{t}$，于是根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可表示出E點坐標為（kt，$\frac{1}{t}$），接著利用矩形面積公式得到（kt-t）•（$\frac{k}{t}$-$\frac{1}{t}$）=2，然后解關于k的方程即可得到滿足條件的k的值．

解答 解：設D（t，$\frac{k}{t}$），
∵矩形OGHF的面積為1，DF⊥x軸于點F，
∴HF=$\frac{1}{t}$，
而EG⊥y軸于點G，
∴E點的縱坐標為$\frac{1}{t}$，
當y=$\frac{1}{t}$時，$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{t}$，解得x=kt，
∴E（kt，$\frac{1}{t}$），
∵矩形HDBE的面積為2，
∴（kt-t）•（$\frac{k}{t}$-$\frac{1}{t}$）=2，整理得（k-1）²=2，
而k＞0，
∴k=$\sqrt{2}$+1．
故選B．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．