Question

2．如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，那么就有：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；人們稱(chēng)之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．
如：2x²+2x-5=0的兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-$\frac{5}{2}$．
（1）如果方程2x²-mx+n=0的兩根為x₁、x₂，且滿(mǎn)足x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，則m=4，n=-1；
（2）已知a、b是關(guān)于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k-5=0的兩實(shí)根，求a²+b²的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求m、n的值即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的變形進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{2}$=2，$\frac{n}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
解得m=4，n=-1；
故答案是：4；-1；

（2）∵a、b是關(guān)于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k-5=0的兩實(shí)根，
∴a+b=k-2，ab=k²+3k-5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab，
（k-2）²-2k²-6k+10，
=-（k+5）²+39≤39．
∴a²+b²的最大值是39．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．