Question

10．已知關于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，則△ABC的形狀為等腰三角形；
（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．

Answer 1

分析 （1）直接將x=-1代入得出關于a，b的等式，進而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀；
（2）利用根的判別式進而得出關于a，b，c的等式，進而判斷△ABC的形狀；
（3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進而代入方程求出即可．

解答 解：（1）∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）²-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案為等腰三角形；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有兩個相等的實數根，
∴（2b）²-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b²-4a²+4c²=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴（a+c）x²+2bx+（a-c）=0可整理為：2ax²+2ax=0，
∴x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=-1．

點評 此題主要考查了一元二次方程的應用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識，正確由已知獲取等量關系是解題關鍵．